Идея голографической дуальности, или AdS/CFT-соответствия, — одна из самых красивых и популярных идей современной физики. Впервые эта идея была сформулирована Хуаном Малдасеной еще в 1997 году, однако физики до сих пор продолжают ее развивать. К настоящему времени пионерскую статью Малдасены процитировали почти 15 тысяч раз; более того, даже спустя двадцать лет она стабильно набирает около тысячи цитирований в год. Это абсолютный рекорд популярности сюжета из физики высоких энергий. Причина популярности AdS/CFT-соответствия кроется в многообещающих результатах, которые можно получить в рамках этой идеи. В частности, с ее помощью можно объяснить, почему энтропия черной дыры пропорциональна площади горизонта событий. В этом материале мы разберемся, что такое голографическая дуальность и почему она так нравится физикам.
Простой пример «голографии»
Для начала мы рассмотрим несколько простых примеров «голографичности» и дуальности, а потом узнаем, как они реализуются в AdS/CFT-соответствии и почему физики так любят эту идею.
Прежде чем мы будем говорить об AdS/CFT-соответствии, рассмотрим упрощенный вариант «голографии» — систему, поведение которой полностью определяется условиями на ее границе. Чтобы сделать этот пример одновременно строгим и наглядным (насколько это возможно), сначала мы разберем формальную математическую часть, а потом рассмотрим простой физический пример.
Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение вида ∆=0, где () — дважды дифференцируемая функция, а ∆ — трехмерный оператор Лапласа (∆≡xx+yy+zz, нижний индекс обозначает производную по указанной переменной). Здесь и далее мы будем обозначать вектора жирным шрифтом.
Вообще говоря, это уравнение имеет бесконечное число решений, пока мы не наложим на функцию какие-нибудь дополнительные ограничения. Поэтому будем считать, что функция задана на некоторой области Ω, а на границе области ∂Ω удовлетворяет определенным краевым условиям. Например, можно зафиксировать на границе значение функции: |∂Ω=0(), или ее производную вдоль внешней нормали к области: (∂/∂)|∂Ω=1(). При этом функции 0() и 1() считаются непрерывными. Первый вариант математики называют краевыми условиями Дирихле, второй — краевыми условиями Неймана.
Важно, что оба этих граничных условия полностью определяют поведение функции внутри области Ω: решение задачи Дирихле всегда существует и единственно, а решение задачи Неймана существует и единственно, если интеграл от функции 1() вдоль ∂Ω равен нулю. Если функция () описывает какое-то поле, то его значения в заданном объеме легко можно найти, решая краевую задачу Дирихле или Неймана. Другими словами, такое поле можно интерпретировать как своеобразную голограмму, вся информация о которой содержится на двумерной поверхности.
Поскольку уравнение вида ∆ = 0 является частным случаем уравнения теплопроводности и закона Гаусса, его «голографичность» сильно упрощает решение некоторых физических задач.
В частности, на этом свойстве основан метод изображений, который заменяет границу рассматриваемой области источниками-изображениями, расположенными за пределами области и воспроизводящими напряженность поля на границе. Как правило, найти положение таких источников гораздо проще, чем искать распределение заряда на поверхности, а теорема существования и единственности гарантирует, что поле в реальной и «воображаемой» задаче совпадет. Как правило, метод изображения разбирают в школе во время изучения электростатики, однако он применяется и в более сложных теориях.
Простые примеры дуальности
Кроме того, прежде чем говорить о дуальностях, попробуем разобраться, что это слово вообще означает. Грубо говоря, две теории называются дуальными, если они разными словами описывают одну и ту же ситуацию. На более формальном языке можно сказать, что дуальные теории переходят друг в друга, если определенным образом сопоставить элементы одной теории элементам другой теории и переопределить отношения между элементами.
Чтобы проиллюстрировать это определение, рассмотрим простой геометрический пример. Представим себе плоскость, на которой нарисованы три равноудаленные точки, и попарно соединим точки линиями. В этом рисунке каждая точка принадлежит ровно двум прямым, а каждая прямая пересекает ровно две точки. Если теперь поменять местами понятия «точка» и «прямая», а также отношения «пересекается» и «принадлежит», то картинка не изменится: каждая точка, растянутая в прямую, будет пересекать две прямые, сжатые в точку, а каждая экс-прямая будет принадлежать двум экс-точкам. Даже симметрия задачи сохранится.
Получается, что при таком преобразовании система переходит сама в себя, то есть она дуальна сама себе (физики говорят: самодуальна). Физические теории оперируют менее абстрактными объектами, чем эта геометрическая задача, однако суть дуальности остается прежней.
В частности, похожими свойствами обладает классическая электродинамика. В самом деле, в вакууме уравнения Максвелла выглядят подозрительно симметрично:
Здесь обозначает скорость света, ∇ — оператор набла, вектора и — напряженность электрического и магнитного поля, ρe и ρm — плотность электрического и магнитного заряда, а e и m — электрический и магнитный ток. Конечно, в природе магнитных зарядов не существует, однако пока что мы предположим, что их плотность отлична от нуля. Легко заметить, что эта теория переходит сама в себя, если повернуть поля и их источники на действительный угол ξ:
Если мы хотим описать теорию с источниками, то угол ξ нужно выбрать таким образом, чтобы магнитный заряд и магнитный ток обратились в ноль. В этом случае мы получим уравнения Максвелла в стандартной форме. Если же мы рассмотрим свободную теорию, в которой ρe = ρm = 0 и e = m =0, то дополнительное условие на угол ξ исчезнет, а физический смысл электрического и магнитного поля размоется. В частности, если выбрать ξ=90°, электрическое поле перейдет в магнитное: →, а магнитное — в электрическое: →−. При этом верхняя и нижняя пара уравнений Максвелла поменяются местами. Следовательно, теория не изменится, если мы переставим электрическое и магнитное поле, а потом повернем их на 90 градусов. Поэтому свободная электродинамика в вакууме тоже дуальна самой себе.
Подчеркнем, что симметрия и самодуальность теории — это не одно и то же. На самом деле перестановка →, →− имеет глубокий физический смысл, который теряется в приведенном выше наивном «выводе» самодуальности.
Если переписать уравнения Максвелла в ковариантном виде, то окажется, что такая перестановка меняет местами динамические уравнения, которые описывают поведение полей, и геометрические уравнения, которые выполняются по определению. Чтобы найти динамические переменные в новой теории, нужно провести нетривиальную цепочку преобразований. В результате окажется, что электромагнитное поле исходной теории сложным образом отображается в электромагнитное поле дуальной теории, а константа связи (элементарный заряд) отображается в обратную константу связи: →1/.
Тем не менее, со стороны дуальная теория выглядит как свободная теория электромагнетизма. Это поведение отличается от поведения теории при преобразованиях симметрии (например, повороты и лоренцовские бусты), после которых параметры теории остаются прежними, а исходные и преобразованные поля отвечают одним и тем же степеням свободы.
AdS и CFT
AdS/CFT-соответствие совмещает в себе идеи дуальности и «голографичности». С одной стороны, оно связывает между собой две нетривиальные теории: квантовую теорию гравитации в (+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера и -мерную конформную теорию поля. С другой стороны, конформная теория «живет» на границе пространства, в котором действует квантовая гравитация, а значит, представляет собой своеобразную голограмму этого пространства. Давайте разберемся, о каких теориях идет речь.
Первая часть аббревиатуры «AdS/CFT» обозначает квантовую теорию гравитации в (+1)-мерном пространстве-времени анти-де Ситтера, то есть пространстве с постоянной отрицательной кривизной. Для описания пространственной части трехмерного пространства-времени анти-де Ситтера (AdS3) удобнее всего использовать модель Пуанкаре (Poincaré disk), в которой бесконечное пространство отображается в единичный диск. При этом геодезическими линиями выступают дуги окружностей, перпендикулярные границе диска. Если сложить такие диски в стопку, образующую сплошной цилиндр, то получится модель полноценного пространства-времени AdS3. Обобщения на случай бо́льших размерностей можно построить аналогичным образом.
Свойства пространства анти-де Ситтера сильно отличаются от привычного для нас плоского пространства Минковского. Во-первых, это пространство имеет границу. Во-вторых, любой предмет, брошенный наблюдателем в пространстве анти-де Ситтера, возвращается к нему, словно бумеранг. При этом время возвращения не зависит от траектории объекта и всегда конечно. В третьих, это правило распространяется даже на лучи света, которые в ходе своего путешествия достигают границы пространства, хотя эта граница бесконечно удалена от наблюдателя. Это связано с тем, что по мере удаления объекта их собственное время все больше и больше сокращается. В частности, при приближении к границе время объекта практически останавливается.
Вообще говоря, что такое квантовая теория гравитации в AdSD+1, до сих понятно не очень хорошо. Как правило, под такой теорией понимается теория струн. Впрочем, в реальных расчетах обычно идет речь о классическом пределе этой теории, который хорошо описывается Общей теорией относительности, то есть действием Эйнштейна—Гильберта.
Вторая часть аббревиатуры «AdS/CFT» скрывает в себе конформную теорию поля в -мерном плоском пространстве-времени. Конформная теория поля — это частный случай квантовой теории поля, в которой корреляционные функции (корреляторы) не меняются при конформных преобразованиях. Грубо говоря, корреляторы описывают вероятность перехода между различными конфигурациями полей. Как только мы нашли все корреляторы теории и научились считать квантовые поправки к их классическим значениям, мы можем достать из теории все наблюдаемые величины, которые в ней содержатся, — например, сечения рассеяния частиц. Поэтому корреляционные функции являются центральным объектом квантовой теории поля. Подробнее про корреляционные функции можно послушать в рассказах физиков-теоретиков Эмиля Ахмедова и Анатолия Дымарского.
Для вычисления корреляционных функций удобно использовать производящий функционал [], который иногда называют статсуммой (partition function) по аналогии со статистической физикой. В каком-то смысле производящий функционал — это обобщение понятия действия на квантовый случай: так же, как действие содержит всю информацию о классической теории, производящий функционал исчерпывающе описывает соответствующую квантовую теорию. Более того, основной вклад в производящий функционал дают именно классические траектории, около которых флуктуируют квантовые поля.
К сожалению, на практике посчитать квантовые поправки к производящему функционалу и корреляционным функциям удается далеко не всегда. Например, в квантовой хромодинамике (КХД), которая описывает сильные взаимодействия, вывести аналитические выражения удается только в пределе больших энергий (то есть малого расстояния между кварками), когда эффективная константа связи становится маленькой. Более того, некоторые эффекты в этих теориях в принципе нельзя описать в рамках теории возмущений. Поэтому в КХД и ряде других квантовых теорий получить осмысленный ответ удается только с помощью численных расчетов на суперкомпьютере.
Голографическая дуальность
Однако AdS/CFT-соответствие позволяет получить те же самые ответы гораздо проще, используя дуальность между конформной теорией поля в -мерном плоском пространстве и квантовой теорией гравитации в (+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера. Математически эта дуальность выражается в равенстве производящих функций теорий:
Поделиться