В геометрии есть несколько замечательных теорем классификации — теорем, сводящих разнообразие некоторых объектов к конечному набору базовых. Мы начинаем серию материалов, посвященных этим теоремам. Первой в нашем списке идет не самая популярная теорема, известная как теорема Кеплера-Пуансо. Она посвящена так называемым звездчатым многогранникам.
Прежде чем говорить о телах Кеплера-Пуансо, следует обсудить понятие правильного звездчатого многоугольника. Обычным правильным многоугольником называют многоугольник, то есть замкнутую ломаную без самопересечений, у которой равны все звенья и все углы. Легко показать, что правильные многоугольники могут быть только выпуклыми.Возьмем теперь для примера правильный пятиугольник и продолжим его стороны до следующего пересечения между собой. Получится пятиконечная звезда. Такая звезда — это ломаная с самопересечениями, звенья которой равны между собой, равно как и углы (в данном случае углами ломаной будут только углы при вершинах лучей — углы внутри не учитываются).
Иллюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Wenzel Jamnitzer 1568
Теперь возьмем правильный шестиугольник и продолжим его стороны. В результате получится гексаграмма, она же звезда Давида. В отличие от пятиконечной звезды она состоит не из одной ломаной, а из двух, правильных треугольников.На основании этих двух примеров можно дать такое определение правильного звездчатого многоугольника: одна или более ломаных, возможно с самопересечениями, у которых равны все звенья и углы, а вершины расположены в вершинах правильного многоугольника. Если ломаная одна, то звездчатый многоугольник называется простым, если несколько — составным.
Пять правильных платоновых тел
Иллюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Wenzel Jamnitzer 1568
Один и тот же многоугольник может давать несколько звездчатых многоугольников. Например, стороны семиугольника можно продолжать до следующего после первоначального их пересечения друг с другом, а можно до через одного. Это соответствует двум разным звездам: одну можно получить, соединяя вершины правильного семиугольника через одну вершину, а вторую — через две. Оба звездчатых многоугольника в этом случае, кстати, простые.
Кстати, можно показать, что для каждого правильного n-угольника существует ф(n) простых звездчатых многоугольников с вершинами в вершинах такого многоугольника. Здесь ф(x) — функция Эйлера, которая показывает, сколько положительных чисел меньших x с ним взаимнопросто. Это предлагается сделать самим читателям.
В случае, когда речь заходит о трехмерных объектах, как ни странно, жизнь становится гораздо более скудной. В качестве исходных объектов, роль которых в двумерном случае играли правильные многоугольники, берутся правильные многогранники или, как их еще называют, платоновы тела. Их всего пять штук — тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр и додекаэдр. Чтобы получить звездчатые многогранники, предполагается продолжать грани этих платоновых тел.
Иллюстрация: Perspectiva Corporum Regularium - Wenzel Jamnitzer 1568