Если смотреть на первые элементы последовательности простых чисел, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, кажется, что вот-вот поймешь ее секрет, увидишь зависимость, общую формулу, дающую следующие члены - то оказывающиеся по-соседству, то прыгающие сразу через несколько позиций натурального ряда. На самом деле, такой формулы не существует. При всей кажущейся простоте, в математике немного более загадочных и труднопостижимых объектов, чем простые числа.
Ряд простых чисел постепенно становится все более редким. Если взять отрезок фиксированной длинны и перемещать его вперед по числовой оси, он все реже будет «зацеплять» хотя бы одно простое число. На самом деле верно даже более сильное утверждение: для отрезка любой длины можно уехать так далеко, что в какой-то момент в него не попадет ни одного простого числа! То есть щели между простыми числами могут быть сколь угодно большими.Но иногда соседние числа идут буквально друг за другом. С помощью современного компьютера мы можем найти практически любое количество простых чисел, но этого мало, для того, чтобы понять, как они ведут себя еще дальше, для того, чтобы сделать выводы о поведении их ряда в целом. Именно с распределением простых чисел связано множество интересных гипотез.Одна из них — гипотеза о простых числах-близнецах: существует бесконечное количество простых чисел, отличающихся друг от друга на 2. Таких пар много в начале ряда: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Наибольшие известные на сегодняшний день простые близнецы, полученные с помощью компьютерных вычислений, это 3,756,801,695,685×2666,669 — 1 и 3,756,801,695,685×2666,669 + 1. Но будут ли простые близнецы встречаться сколь угодно далеко, до сих пор неизвестно.На самом деле до недавнего времени не было ответа на более простой вопрос: верно ли, что расстояния между соседними простыми числами растут с ростом простых чисел? Используя аналогию с линейкой, верно ли, что для любой линейки, начиная с какого-то момента, она начнет зацеплять не больше одного простого числа за раз? Разумеется, если гипотеза о числах близнецах верна, то ответ на этот вопрос отрицательный.Ответ (разумеется, отрицательный) на этот более простой вопрос впервые дал малоизвестный математик Итан Чжан из Университета Нью-Гэмпшира. Работа Чжана, опубликованная в мае 2013 года в научном журнале Annals of Mathematics оказалась полнейшей неожиданностью для математического сообщества. Чжану удалось сделать самый существенный прорыв в понимании поведения последовательных простых чисел за последние несколько сотен лет.Чжан доказал, что существует бесконечное количество пар подряд идущих простых чисел, отстоящих друг от друга на 70 миллионов. 70 000 000 это еще не 2, что требовалось бы для доказательства гипотезы о простых близнецах, но уже и далеко не бесконечность.
70 000 000: Итан Чжан
В основе доказательства Чжана лежит специальный объект — так называемый подтверждающий гребень.Назовем гребнем упорядоченное множество различных неотрицательных целых чисел . Его можно представлять себе как расческу шириной в зубьев, у которой выломаны все зубья, кроме тех, которые стоят на позициях с номерами . Мы хотим двигать гребень по натуральному ряду и смотреть, попадают ли одновременно все его зубья на простые числа, другими словами, являются ли для данного все числа вида простыми.
Возьмем простейший пример, гребень вида В таком гребне . Число 1 по определению не считается простым, так что гребень интересно примерять к натуральным числам начиная со второй позиции. Тогда его зубцы укажут на 2 и 3 — оба эти числа простые. Но очевидно, что если двигать расческу дальше, то один из ее зубцов будет обязательно указывать на четное число большее 2-х, которое не является простым. Неинтересный случай. А что, если взять гребень ? Ясно, что оба его зубца будут попадать на простые числа, пока будут находиться те самые пары простых близнецов. Из этих примеров можно сделать два вывода. Во-первых, изучение свойств «гребней» тесно связано с исходной задачей (точнее, они эквивалентны). Во-вторых, среди гребней есть такие, которые, какизначально неинтересны, потому что какой-то из их зубцов обязательно будет указывать на составное число. Можно ли заранее описать класс интересных гребней и дальше изучать именно их? Оказывается, — и это самое удивительное — да.
Гребень называется подтверждающим, если для любого простого числа p множество остатков от деления на p состоит менее чем из p различных чисел. По сути, это свойство гребня — необходимое условие для того, чтобы при движении гребня по натуральноу ряду его зубцы вида могли бы попадать на наборы, состоящие только из простых чисел. Почему? Давайте предположим, что наш гребень — не подтверждающий. Значит, для какого-то простого числа остатки от деления на p пробегают все значения от 0 до . Продвинем гребень на любую позицию . Его зубья указывают на числа . Пусть остаток от деления на равен . Так как гребень у нас не подтверждающий, среди в наборе зубцов есть один, скажем , остаток от деления которого на равен . Тогда в сдвинутом на -ю позицию гребне этот зубец укажет на число , остаток которого при делении на равен . Значит, этот зубец указывает на число делящееся на и строго большее его, это число — составное. Таким образом мы доказали, что хотя бы один зубец не подтверждающего гребня, сдвинутого на любую позицию , приходится на составное число.
Фотография: Naomi Campbell / flickr.com